E=mc^2：愛因斯坦

每年的 3 月 14 號是 Pi Day 圓周率日，因為 Pi = 3.141592……。

$E = mc^2$ 的文章。在今天愛因斯坦 137 歲誕辰，我們就來看看愛因斯坦在 1905 當年是如何推導出這家傳戶曉的質能轉換公式吧！

任何一本現代物理學或相對論教科書，無論是本科或研究生程度，都必定會講解 $E = mc^2$ 的推導過程，涉及四維向量和微積分的數學技巧。不過，原來愛因斯坦當年的推導並沒有使用這些數學工具，而是用更直接的物理去得出 $E = mc^2$ 這結論。

想像有一隻喵星人。愛因斯坦本來並非說喵星人，而是一個廣義的物理系統，只不過我選擇喵星人做這個物理系統。這隻喵星人會發光（我們今天不討論生物學）。喵星人在靜止不動的時候（牠們很擅長），就有

總能量 = 喵星人能量 $E_0$ 。

然後想像喵星人發光。由於光是能量，所以我們就會有

總能量 = 喵星人發光後的能量 $E_1$ + 光的能量。

假設喵星人放出的光總能量為 $L$ 。現在隨意選擇一個方向叫做 $x$ ，如果我們與喵星人相對靜止，就會觀察到一半的光能量 $\frac{1}{2}L$ 沿著 $+x$ 方向擴散開去、另外一半的光能量 $\frac{1}{2}L$ 沿著 $-x$ 方向擴散開去。因此就有

總能量 = 喵星人發光後的能量 $E_1 + \frac{1}{2}L + \frac{1}{2}L$ 。

現在，假設我們觀察喵星人發光的時候並非靜止不動，而是沿著與 $x$ 軸的一個夾角 $\theta$ 方向以均速 $v$ 跑。跟據狹義相對論，我們也可以說自己是靜止的，是喵星人在沿著與 $-x$ 軸的一個夾角 $\theta$ 方向以均速 $-v$ 跑。所以我們就有

總能量 = 喵星人能量 $H_0$ 。

注意 $H_0$ 不等於 $E_0$ ，因為喵星人的運動狀態不同。然後，我們亦見到喵星人發光。我們知道一道波動在不同的波源運動狀態下，其頻率會有所改變，例如我們會聽到救護車的警報聲由高頻變成低頻，這現象叫做都普勒效應 (Doppler effect)。光也是波動的一種（電磁波動），因此也會有都普勒效應。不過由於光以光速行進，聲波的都普勒公式並不適用，我們需要使用相對論都普勒公式：

頻率比 = 能量比 = $\frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

所以

總能量 = 喵星人發光後的能量 $H_1 +\frac{1}{2}L \times \frac{1+v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + \frac{1}{2}L \times \frac{1-v/c \cos\theta}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

由於能量守恆，喵星人發光前後的總能量必須相等，簡化後就有

$E_0 = E_1 + L$

$H_0 = H_1 + \frac{L}{\sqrt{1-v^2/c^2}}$ 。

現在我們來想一想，究竟這兩條公式代表什麼？首先我們會發現 $\theta$ 不見了。這是合理的，因為 $\theta$ 方向是可以隨意選擇的，任一 $\theta$ 都不應該影響最後的物理結論。然後我們能夠看出 $H_0 - E_0 = K_0$ 是喵星人發光前的能量於兩個運動狀態下觀測的差別、 $H_1 - E_1 = K_1$ 是喵星人發光後的能量於兩個運動狀態下觀測的差別。因於喵星人從來沒有做過除發光外的事，這兩個能量差別 $K_0$ 和 $K_1$ 必定是喵星人在兩個運動狀態下被觀測到的動能。